$1\ge a \ge b \ge c \ge 0 $ olduğunu kabul edelim. $(a+b)(a+c)=a^2+ab+bc+ca \ge a^2+b^2+c^2 =1$ olduğundan $\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c} \ge 2$ idir. $\ldots(1)$
$\sqrt{b+c} \ge \sqrt{2\sqrt{bc}} =\sqrt[4]{4bc}=S$ olsun. $S \ge 5abc$ olduğunu gösterirsek ispat biter. $a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olsun. $a^4b^3c^3 \le \dfrac{4}{5^4}$ olduğunu göstermeliyiz. $x=a^2,y=b^2,z=c^2$ olsun. $x+y+z=1$ idir. $A.G.O$ dan $x^4y^3z^3=4^43^33^3\left(\frac{x}{4}\right)^4\left(\frac{y}{3}\right)^3\left(\frac{z}{3}\right)^3\leq4^43^33^3\left(\frac{4\cdot\frac{x}{4}+3\cdot\frac{y}{3}+3\cdot\frac{z}{3}}{10}\right)^{10}=\dfrac{4^43^33^3}{10^{10}}$ olduğunu bilebiliriz. Buradan $a^4b^3c^3 \le \sqrt{\dfrac{4^4.3^6}{10^{10}}}<\dfrac{4}{5^4}$ olur. Eğer biri $0$ a eşit olsa da eşitsizliğin sağlandığını biliyoruz. O halde $\sqrt{b+c} \ge S \ge 5abc$ elde ederiz. $\ldots(2)$
$\ldots(1)$ ile $\ldots(2)$ yi toplarsak ispat biter. Eşitlik $a=1,b=c=0$ için sağlanır.
