Irrassyonel sayı

[Atakga]

$a$ sayısınin ondalık kısmı $\dfrac 1a$ ise, $a$ sayısınin ırrassyonel olduğunu gösteriniz.

[geo]

$0<\dfrac 1a < 1 \Rightarrow 1<a$ ve $a - \dfrac 1a = b \in \mathbb{Z}$ olmalı.

$a^2-ba-1 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{b\pm \sqrt{b^2+4}}{2}$

$\sqrt{b^2 + 4} \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow a \in \mathbb{Q}$

$4$ fazlası tam kare olan tek tam kare $b^2 = 0$.

$b=0$ olduğunda $a=\pm 1$ olacağı için, ifade sağlanmaz. O halde, $a$ yı rasyonel yapan bir $b$ tam sayısı yoktur. Onun haricinde herhangi $b$ pozitif tam sayısı için istenilen şekilde $a$ irrasyonel sayıları bulunabilir.