$3x^2-2x-1=y^2$ denklemini tamsayılarda çözmeye çalışıyoruz. Öncelikle $x$'in çift sayı olduğunu varsayalım. O halde $x^2$ ve $2x \equiv 0(mod\;4)\;\Rightarrow\; y^2\equiv -1(mod\;4)$ olacağından çözüm yoktur. O halde çözüm bulunabilmesi için $x$ tek sayı olmalıdır. Bu durumda eşitlik mod 2'de incelenirse $y$'nin çift sayı olduğu bulunur.
Eşitliği 3 ile çarpıp düzenleyelim: $(3x-1)^2-3y^2=4$. $s=\frac{|3x-1|}{2}$ ve $t=\frac{|y|}{2}$ olsun ($s$ ve $t$ tamsayı olur). O halde denklem $s^2-3t^2=1$ Pell denklemine dönüşür. Denklemin çözümleri $(s_k,t_k),\; k=1,2,3,\cdots$ olsun. Temel çözüm $s_1=2,\;t_1=1$ olup tüm çözümler
$s_{k+1}=2s_k+3t_k;\quad t_{k+1}=s_k+2t_k$ yineleme bağıntılarıyla bulunur. $x$ değeri $\frac{2s_k+1}{3}$ veya $\frac{-2s_k+1}{3}$ değerlerinden tamsayı olanıdır.
Örnek olarak $s_1=2$ değeri $x=-1$'e, $s_2=7$ değeri $x=5$'e, $s_3=26$ değeri $x=-17$'ye, $s_4=97$ değeri $x=65$'e denk gelir. Son olarak bariz çözüm olan $(s,t)=(1,0)$'dan $x=1$'in de çözüm verdiği görülür.
kaynak:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pell_equation
