Gönderen Konu: elipsde alan  (Okunma sayısı 2251 defa)

Çevrimdışı demet

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
elipsde alan
« : Şubat 03, 2014, 12:26:51 öö »
x2/25+y2/9=1 elipsi ve bu elipsin odak noktasından geçen merkezil çember verilmiştir.buna göre elipsle çember arasında kalan bölgenın alanı kaç birim karedir
« Son Düzenleme: Haziran 10, 2014, 05:06:20 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: alan
« Yanıtla #1 : Şubat 07, 2014, 02:34:52 ös »
Elipsin odakları $F_{1}(-4,0)$ ve $F_{2}(4,0)$ noktaları olduğundan bu noktalardan geçen merkezil çemberin denklemi $x^2 + y^2 = 16$ dır. Bu çember ile $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1 $ elipsinin kesim noktalarını belirleyelim. $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{16 - x^2}{9} = 1$ denklemi çözülürse pozitif değer $x=\dfrac{9}{4}$ bulunur. Simetriden dolayı istenen alanın birinci çeyrekteki kısmını bulup $4$ ile çarpacağız. Bunun için $x=0$ ve $x=\dfrac{9}{4}$ doğruları arasında ve elipsin altında kalan alan $A_{1}$; $x=\dfrac{9}{4}$ ve  $x=4$ doğruları arasında ve çemberin altında kalan alan $A_{2}$ olmak üzere $4(A_1 + A_2)$ değerini hesaplamalıyız.

$A_1 = \dfrac{3}{5} \int^{9/4}_{0} \sqrt{25- x^2} \,dx $ ve $A_2 = \int^{4}_{9/4} \sqrt{16- x^2} \,dx $

ile hesaplanır. $ \sqrt{a^2 - x^2}$ içeren integrallerde $x = a \sin \theta$ trigonometrik dönüşümü yapılarak çözüme ulaşılır. Buna göre

$ A_1 = \dfrac{3}{5}  \int_0^{9/4} \sqrt{25-x^2} dx = \dfrac{3}{5} \left( \dfrac {9 \sqrt{319}}{32}+\dfrac {25}{2} \arcsin {\dfrac{9}{20}} \right) $

ve $A_2 =   \int^{4}_{9/4} \sqrt{16- x^2} \,dx = - \dfrac{45 \sqrt{7}}{32}+4 \pi-8 \arcsin {\dfrac{9}{16}}$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal