Yanıt: $\boxed B$
Cevap: $3$.
$a_n \equiv 1 \pmod {11}$ ise $a_{n+1} \equiv 2 \pmod {11}$ ve $a_n \equiv 2\pmod {11}$ ise $a_{n+1} \equiv 1 \pmod {11}$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla $a_0 \equiv 1,2\pmod {11}$ ise en fazla $2$ elemanlı bir küme elde ederiz. $B=\{0,3,7\}$ olmak üzere, $a_n$ sayısı $11$ modunda $B$ kümesinden bir elemana denk ise, $a_{n+1} \equiv a_n \pmod {11}$ elde ederiz, bu da $a_0$ sayısının $11$ modunda $B$ kümesinden bir elemana denk olması durumunda tek elemanlı bir küme elde edeceğimizi gösterir. $C=$ $\{4,5,9,10\}$ olmak üzere, $a_n$ sayısı $11$ modunda $C$ kümesinden bir elemana denk ise, $a_{n+1}$ sayısı $B$ kümesinden bir elemana denk olur. Dolayısıyla $a_0$ sayısının $11$ modunda $C$ kümesinden bir elemana denk olması durumunda $2$ elemanlı bir küme elde ederiz. Son olarak, $a_0 \equiv 6\pmod {11}$ olması durumunda $\{6,10,0\}$ ve $a_0 \equiv 8\pmod {11}$ olması durumunda $\{8,4,3\}$ kümelerini elde ederiz, bu da cevabın $3$ olduğunu gösterir.
Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009
