Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

Her biri dört elemanlı $n$ kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, başlangıçdaki $n$ kümeden birine eşitse, $n$ en çok kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[SERDARKORKMAZ]

1234
1256
3456
1357
1467
2357
2467
 7 elemandan sonraki elemanlarda çelişki oluşuyor en fazla 7 eleman kullanabiliriz

[Eray]

Yanıt: $\boxed C$

$7$ küme için önceki gönderide verilen örnek durumda küçük değişiklikler yapılırsa örnek doğru olacaktır.
Doğru örnek durum: $\{1,2,3,4\},\{1,2,5,6\},\{3,4,5,6\},\{1,3,5,7\},\{2,4,5,7\},\{2,3,6,7\},\{1,4,6,7\}$

En fazla $7$ küme olabileceğini de gösterelim.

Kümelerden hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan elemanların kümesi başlangıçtaki kümelerden birine eşit, aynı zamanda başlangıçtaki kümelerin her biri de $4$ elemanlı olduğuna göre; bu kümelerden hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümenin kesişimi $2$ elemanlı olmak zorundadır.

Kümelerden biri $K_1=\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ olsun. Diğer tüm kümelerin $K_1$ ile tam olarak $2$ ortak elemanı olması gerektiğini biliyoruz.

İddia: Diğer kümelerden iki farklı kümenin $K_1$ kümesiyle ortak olarak bulundurduğu eleman ikilisi aynı olamaz.
İspat: Aksini varsayalım. $K_2=\{a_1, a_2, a_5, a_6\}$ ve $K_3=\{a_1, a_2, a_7, a_8\}$ olsun. $K_2$ ve $K_3$ kümelerinden yalnızca birine ait olan elemanların kümesi $\{a_5,a_6,a_7,a_8\}$ olur, yani bu küme de başlangıçtaki kümelerden biri olmak zorundadır. Ancak bu kümenin $K_1$ kümesiyle ortak elemanı yoktur. Çelişki.

O halde diğer kümelerin her birinin $K_1$ ile ortak bulundurdukları eleman ikilileri birbirlerinden farklıdır.

$K_1$ kümesinin $\dbinom{4}{2}=6$ farklı eleman ikilisi bulunduğundan, diğer kümelerin sayısı en fazla $6$, toplam küme sayısı en fazla $7$ olabilir.