Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 5  (Okunma sayısı 2032 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 5
« : Kasım 29, 2013, 08:50:19 ös »
Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq M(ab^2 + bc^2 + ca^2 - 3abc)$$ olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sayısını belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Ekim 14, 2014, 11:19:53 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 5
« Yanıtla #1 : Ocak 23, 2016, 12:37:22 ös »
Genelliği bozmadan $a$ bu sayıların en küçüğü olsun. $b=a+u$ ve $c=a+v$ ve $u,v \ge0$ olsun. Buradan $a^3+b^3+c^3-3abc-{M(ab^2+bc^2+ca^2-3abc)}=a(3-M)(u^2-uv+v^2)+u^3-Muv^2+v^3 \ge 0$ elde edilir. $a=b=2,c=1$ için $3 > \dfrac{5}{2} \ge M $ olur. Ayrıca $u^2-uv+v^2 \ge 0$ dır. $a(3-M)(u^2-uv+v^2) \ge 0$ idir. $A.G.O$ dan $u^3+v^3=u^3+2\cdot\left(\dfrac{v^3}{2}\right)\geq\dfrac{3}{\sqrt[3]4}uv^2$ olduğundan $\dfrac{3}{\sqrt[3]4} \ge M$ elde edilir. Ancak eşitlik durumu bulamadım. Yardımcı olabilecek varsa sevinirim.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:40:55 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal