Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 4  (Okunma sayısı 2932 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 4
« : Kasım 29, 2013, 08:48:50 ös »
$2^n + n = m!$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Ekim 14, 2014, 11:18:30 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı SerkanOzel

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 6
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 4
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:31:32 ös »
M 4 e eşit veya büyükse 8 e bölünür fakat 2^n+n 8 e bölünemez.
Şu halde m=1,2 için n yok ve m=3 için n=2 çözüm olur.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 01:07:42 ös Gönderen: geo »
Konya Enderun Fen Lisesi

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 4
« Yanıtla #2 : Nisan 29, 2014, 09:22:35 ös »
M 4 e eşit veya büyükse 8 e bölünür fakat 2^n+n 8 e bölünemez...

Bu iddianın doğru olup olmadığını bilmiyoruz. Nitekim $n = 8$ için $2^n + n$, $8$ e bölünüyor. $n=8k$ için de $2^n + n$ ifadesi $8$ ile bölünüyor...
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 01:07:45 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 4
« Yanıtla #3 : Nisan 17, 2016, 11:42:34 öö »
$p \mid n$ olsun. $p \neq 2$ sayısı $2^n$ yi bölmez. O halde $m!$ i de bölmez. Buradan $n$ nin her asal böleni $p$ için $p>m$ elde edilir.

(i.) $n$ nin $2$ hariç en az iki asal böleni olursa $p,q$ onlardan ikisi olsun, $n \ge pq>m^2$ elde edilir.  $m! > 2^{m^2}+m^2$ olmalıdır. Ancak  ($m$ tane $2^m$ nin çarpımı) $2^{m^2}=2^{m}.2^{m}\cdots2^{m} >1.2 \cdots m$ o halde buradan çelişki.

(ii.) $n=p^{a}.2^{b}$ olmalıdır. $a >1$ ise $p>m$ den dolayı $n > m^{a}$ dır. $a\ge 2$ ise $n >m^2$ olur ki çelişki geleceğini az önce ispatlamıştık. O halde $a=1$ olmalıdır. $n=p.2^{b}$ olur. $p \neq 2$ olduğundan $2^b $ $||$ $m!$ olur. O halde $m$ de tam olarak $b$ tane $2$ çarpanı olmalıdır. Ancak $m>2^b$ olduğundan çelişki. $n=2^{a}$ olması gerekir. $m \ge 3$ olduğundan $m!$ in çift olduğunu biliyoruz. O halde $2^{p^a}+p^a$ çift olmalı. $p=2$ olmalı. $2^{2^a}+2^a=m!$ olmalı. $m \ge 3$ için $3 \mid m!$ olduğundan $3 \mid 2^{2^a}+2^a$ o halde $a$ tek olmalı. $m \ge 5$ için $5 \mid   2^{2^a}+2^a$ olmalı. $a=1$ ise 5 ile bölünmez. $a\ge 2$ için $2^{2^a} \equiv 1 \pmod{5}$ yani $2^a \equiv 4 \pmod{5}$ olmalı. Ancak $a$ tek olduğundan çelişki! $m=3,4$ olabilir. $m=3$ için $n=2$ sağlar.

(iii.) $n=1$ olabilir. Buradan çözüm yoktur.

$(3,2)$ tek köktür. İspat biter.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:39:57 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal