Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 6  (Okunma sayısı 2534 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1762
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 6
« : Kasım 29, 2013, 08:52:06 ös »
Düzlemde yer alan ve aralarındaki uzaklıklar pozitif tam sayılar olan $P_1, P_2, \dots, P_n$ noktalarından her biri için, diğer noktaların bu noktaya olan uzaklıkları azalmayacak biçimde sıralandığında oluşan dizi hep aynı ise, $n$ nin alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

(Selim Bahadır)
« Son Düzenleme: Ekim 14, 2014, 11:18:51 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1762
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2013 Soru 6
« Yanıtla #1 : Ekim 11, 2014, 08:12:46 ös »
$P_1, P_2, \dots, P_n$ noktalarının ağırlık merkezi $G$ olsun. Leibniz Teoremine göre herhangi $M$ noktası için $$\sum \limits_{i=1}^n MP_i^2 = \dfrac 1n \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{} P_iP_j^2 + n\cdot MG^2.$$ $M$ yerine sırasıyla $P_1, P_2, \dots, P_n$ noktalarını koyduğumuzda $P_1G = P_2G = \cdots = P_nG$ elde ederiz.
Bu durumda, $P_1, P_2, \dots, P_n$ noktaları çemberseldir.

Genelliği bozmadan bu noktaların çember üzerinde saat yönünde $P_1 \to P_2 \to \cdots \to P_n$ şeklinde dizildiğini kabul edelim.
Her $P_i$ için ona en yakın iki nokta $P_{i-1}$ ve $P_{i+1}$ dir. ($P_{0} = P_{n}$ ve $P_{n+1} = P_1$)
Her $i$ için söz konusu uzunluklar dizisinin en küçük iki elemanı aynı olacağı için $P_1P_2\dots P_n$, kenarları $a,b,a,b, \dots, a,b$ olan bir kirişler $n-$geni olacaktır. Bu durumda çokgenin bir dış açısı $\dfrac{2\pi}{n}$ olacaktır.
Çokgenin en küçük köşegeni Kosinüs teoreminden $$P_{i-1}P_{i+1}^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cdot \cos \dfrac {2\pi}{n}$$ şeklinde bulunur. Bu durumda $\cos \dfrac{2\pi}{n}$ nin rasyonel olması gerekmektedir.

Niven Teoremi veya buradaki sorunun çözümünden $n=1,2,3,4,6$ olması gerekir; ama yeterli değildir.

$n=1,2$ için herhangi bir konfigürasyonun sorudaki durumu sağladığı açıktır.

$n=3$ için üçgen eşkenar olmalıdır.

$n=4$ için $P_1P_2P_3P_4$ bir dikdörtgendir. Köşegenlerin tam sayı olması için kenarlar $3-4-3-4$ gibi bir pisagor üçlüsünün en küçük iki elemanından oluşmalı.

$n=6$ için kirişler altıgeninde $P_1P_2P_3P_4$ taban açıları $60^\circ$ olan bir ikizkenar yamuk olacaktır. $P_1P_2 = a$ ve $P_2P_3=b$ olmak üzere; $P_1P_4 = a+b$ ve $P_1P_3 = P_2P_4 = \sqrt {a^2+b^2 + ab}$ olacaktır. Kenarları tam sayı ve bir açısı $120^\circ$ olan birçok üçgen vardır. Bunlardan biri, $3-5-7$ üçgenidir. Yani $3-5-3-5-3-5$ kirişler altıgeni de istenen konfigürasyonlardan biridir.

Toparlarsak, $n \in \{1,2,3,4,6\}$ dir.

Kaynak:
AoPS
Romanian Masters In Mathematics 2011/P5
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 08:48:25 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal