$n=p_1^{\alpha_1}\dots p_m^{\alpha_m}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılsın.
$f(n)=\dfrac {d(n^2)}{d(n)} = \displaystyle\prod_{i=1}^{m}\dfrac{2\alpha_i+1}{\alpha_i+1} = k$
Paylar hep tek sayı olduğu için $k$ sayısı da tek olmalıdır.
Bunun yanı sıra $\alpha_1 = \alpha$ ve $\alpha_i = 2\alpha_{i-1}$ şeklinde alındığında, $n_r = p_1^{\alpha}\cdots p_{r-1}^{2^{r-1}\alpha }$ sayısı için
$f(n_{r}) = \dfrac {2\alpha + 1}{\alpha + 1}\cdot \dfrac {4\alpha + 1}{2\alpha + 1}\cdots \dfrac {2^r\alpha + 1}{2^{r-1}\alpha + 1} = \dfrac {2^r\alpha +1}{\alpha +1}$
İddiamız; tüm $k$ tek sayıları için uygun $n$ sayısının bulunduğu.
$k=1$ için $n=1$ sağlar.
$1, \dots, k-2$ için uygun $n$ sayılarının bulunduğunu varsayalım.
Tümevarımla $k$ için de uygun $n$ sayısının bulunduğunu göstereceğiz.
$0 < t < k$ tam sayısı tek olsun.
$k = f(n_r)\cdot t = \dfrac {2^r\alpha +1}{\alpha +1} \cdot t$ denklemini $\alpha$ için çözmeye çalışalım.
$k\alpha + k = 2^r\alpha t + t \Longrightarrow \alpha (2^rt - k) = k - t \Longrightarrow \alpha = \dfrac {k-t}{2^rt - k}$.
$2^rt-k = 1$ için $\alpha = k -t$ olacaktır.
$k$ sayısı tek sayı olduğu için $k+1 = 2^rt$ şeklinde bir $t$ sayısı vardır.
Bu yaptıklarımızı tersten toparlayalım:
$k$ tek sayı olduğu için $k+1$ çift sayısı ($t < k$ bir tek sayı olmak üzere) $k + 1 = 2^r \cdot t$ şeklinde yazılabilir.
$f(n_t) = t$ olsun. $p_1, \dots, p_{r-1}$ asal sayıları $n_t$ nin asal çarpanlarından farklı sayılar olsun.
$n = p_1^{\alpha}\cdots p_{r-1}^{2^{r-1}\alpha } \cdot n_t = n_r \cdot n_t$
ve $\alpha = k - t = k - \dfrac {k+1}{2^r}$ sayısı için
$\begin{array}{lcl}
f(n) &=& \dfrac {2^r\alpha + 1}{\alpha + 1} \cdot t \\
&=& \dfrac {2^r(k-t) + 1}{k-t + 1} \cdot t \\
&=& \dfrac {2^rt(k-t) + t}{k-t+1} \\
&=& \dfrac {(k+1)(k-t) + t}{k-t+1} \\
&=& \dfrac {k^2 -kt + k - t + t}{k-t+1} \\
&=& \dfrac {k^2 - kt + k}{k-t+1} \\
&=& \dfrac {k(k-t+1)}{k-t+1} \\
&=& k
\end{array}$
Bu da $k$ sayısı için $f(n)=k$ olacak şekilde bir $n$ sayısı var olduğu anlamına gelir.
Örnek olarak $f(n)=71$ için bir $n$ sayısı bulmaya çalışalım.
$71 + 1 = 72 = 2^3 \cdot 9$, $\alpha = k-t= 71 - 9 = 62$.
$9+1 = 10 = 2\cdot 5$, $\alpha = 9 - 5 = 4$.
$5+1 = 6 = 2\cdot 3$, $\alpha = 5 - 3 = 2$.
$3+1 = 4 = 2^2\cdot 1$, $\alpha = 3 - 1 = 2$.
$f(p_1^{2}p_2^{4})= \dfrac {45}{15} = 3$.
$f(p_3^{2}) = \dfrac 53$ ve $f(p_1^{2}p_2^{4} p_3^{2}) = 3 \cdot \dfrac 53 = 5$.
$f(p_4^{4}) = \dfrac 95$ ve $f(p_1^{2}p_2^{4} p_3^{2}p_4^{4}) = 5 \cdot \dfrac 95 = 9$.
$f(p_5^{62}p_6^{124}p_7^{248}) = \dfrac {8 \cdot 62 + 1}{62+1} = \dfrac {497}{63} = \dfrac {71\cdot 7}{9 \cdot 7} = \dfrac {71}{9}$ ve $f(p_1^{2}p_2^{4} p_3^{2}p_4^{4}p_5^{62}p_6^{124}p_7^{248}) = 9\cdot \dfrac {71}{9} = 71$.
