Bölme Algoritmasını uygulayalım.
$$\dfrac{n^3+1}{mn-1}=qn+r$$ $q\ge 0 $ , $0\le r<n$
Denklemi içler dışlar çarpıp düzenlersek
$$n^3+1=qmn^2+rmn-qn-r$$
Denkleme $n$ modunda bakarsak $1\equiv -r(modn)$ yani $r\equiv -1(modn)$ bölme algoritmasını da göz önüne alırsak $r=n-1$ olmalıdır.
Denklemi tekrar düzenlersek $n^2=qmn+(n-1).m-q-1$ elde edilir.
$m^3.\dfrac{n^3+1}{mn-1}=\dfrac{m^3n^3-1}{mn-1}+\dfrac{m^3+1}{mn-1}$ olduğundan ilk $3$ terim tam sayı olduğundan $\dfrac{m^3+1}{mn-1}$ de bir pozitif tam sayıdır. Genelliği bozmadan $m\ge n$ alabiliriz.
$n=1$ ise $1=qm-q-1$ $2=qm-q$ $q\mid 2$ olduğundan $q=1$ veya $q=2$ dir.
$q=2$ ise $m=2$ $(2,1)$ ve simetriği
$q=1$ ise $m=3$ olur. $(3,1)$ ve simetriği gelir.
$m\ge n\ge 2$ olsun. O zaman
$n^2\ge qn^2+n.(n-1)-q-1$
$n+1\ge q.(n^2-1)$
$q.(n-1)\le 1$
$n\ge 2$ olduğundan $q\le 1$ elde edilir.
$q=1$ için $n^2\ge qn^2+n.(n-1)-q-1$ eşitsizliğine tekrar bakalım .
$n^2\ge 2n^2-n-2$
$n^2-n-2\le 0$ $n\ge 2$ olduğundan dolayı $n=2$ olası tek çözümdür. Denklemde yerine konulursa $m=2$ çıkar.
$q=0$ için
$n^2=mn-m-1$
$$n^2+1=m.(n-1)$$
$$\dfrac{n^2+1}{n-1}\in Z$$ Polinom bölmesi yardımıyla $$\dfrac{2}{n-1}\in Z^+$$ olmalıdır. $n=2$ ve $n=3$ çözümleri gelir.
$n=2$ için $m=5$
$n=3$ için $m=5$ olur.
Denklemin tüm çözümleri bunların simetrikleri ile birlikte $\{(1,3),(3,1),(1,2),(2,1),(2,2),(5,3),(3,5),(2,5),(5,2)\}$ şeklinde $9$ çözümü vardır.
