Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1965 Soru 5

[geo]

$AOB$ açısı dar olan $\triangle OAB$ yi ele alalım. $M\neq O$ noktasından $OA$ ve $OB$ ye çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P$ ve $Q$ dur. $\triangle OPQ$ nin yükseklikleri $H$ de kesişiyor. $M$,

• $AB$ kenarı üzerinde
• $\triangle OAB$ içerisinde

değişirken, $H$'nin geometrik yeri nedir?

[geo]

• $A$ dan $OB$ ye inilen dikmenin ayağı $D_1$, $B$ den $OA$ ye inilen dikmenin ayağı $E_1$ olsun.
  
  
  
  
  $PH \parallel AD_1 \parallel MQ$ ve $QH \parallel BE_1 \parallel MP$ olduğu için $MPHQ$ bir paralelkenardır. Bu durumda $PH = MQ$.
  $$\dfrac {PH}{AD_1} = \dfrac {MQ}{AD_1}=\dfrac {BM}{BA} = \dfrac {E_1P}{E_1A}$$ olduğu için $H \in [D_1E_1]$. O halde $H$ noktalarının geometrik yeri $[D_1E_1]$ doğru parçasıdır.
  
  
• $[OA]$ üzerinde $A_2$, $[OB]$ üzerinde $B_2$ noktalarını $A_2B_2 \parallel AB$ olacak şekilde alalım.
  
  
  
  
  $M_2 \in [A_2B_2]$ olsun. $M_2$ den $OA_2$ ve $OB_2$ e çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P_2$ ve $Q_2$ olsun. $\triangle OP_2Q_2$ nin diklik merkezi $H_2$ olsun. $D_2$ ve $E_2$ noktaları $a)$ şıkkındaki gibi tanımlansın. $D_2 \in [OD_1]$ ve $E_2 \in [OE_1]$ ve $D_2E_2 \parallel D_1E_1$ olacaktır. Bu durumda $ M \in \triangle OAB$ iken $H \in \triangle OD_1E_1$ olacaktır. Sorudaki tanım gereği geometrik yer $\triangle OD_1E_1$ üçgensel bölgesinin $O$ hariç kısmıdır.