Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 2

[geo]

Alanı $T$, kenarları $a,b,c$ olan bir üçgende $$a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt 3 \cdot T$$ olduğunu kanıtlayınız. Hangi koşullarda eşitlik sağlanır?

[geo]

$u$ yarıçevre olmak üzere $T^2 = u(u-a)(u-b)(u-c) $
$AO \geq GO$ dan $$\dfrac{u-a + u-b + u-c}{3} \geq \sqrt[3]{(u-a)(u-b)(u-c)}$$ $$\dfrac {u^3}{27} \geq (u-a)(u-b)(u-c)$$ $$\dfrac {u^4}{27} \geq u(u-a)(u-b)(u-c) = T^2$$ $$u^2 \geq 3T\sqrt 3  $$
$KO \geq AO$ dan $$\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \left( \dfrac{a+b+c}{3} \right ) ^2 $$ $$a^2 +b^2 +c^2 \geq \dfrac{4u^2}3 = 4T\sqrt 3$$

[ERhan ERdoğan]

ifade Weitzenböck's eşitsizliği olarak bilinmektedir.

ispat-1 :

$ T= \dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}}{4}  = \dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

olmak üzere,

$ (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2 \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geqslant \dfrac{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geqslant 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} \geqslant (4T)^2$

ispat-2:

$ a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+ac+bc$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geqslant \sqrt{3(a+b+c)(\dfrac{a+b+c}{3})^3}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geqslant \sqrt{3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geqslant 4\sqrt{3}T$