$AB$ nin orta noktası $M$, $CD$ nin orta noktası $N$ olsun.
(Simetriden dolayı, $AD$ çaplı çember ile $BC$ çaplı çemberin $MN$ yi kestiği noktalardan geçer.)
$BC$ çaplı çember, $MN$ yi kesmezse, söz konusu bir $P$ noktası bulunamaz.
$BC$ çaplı çember, $MN$ ye teğette, söz konusu tek bir $P$ noktası vardır.
$BC$ çaplı çember, $MN$ yi iki kesiyorsa, iki tane $P$ noktası vardır.
$\angle BPC = \angle BMP = \angle PBC = 90^\circ$ olduğu için $\angle MBP = \angle CPN$, dolayısıyla da $\triangle CPN \sim \triangle PBM$ dir. $MP=x$ dersek, $\dfrac{x}{\frac a2} = \dfrac{\frac c2}{h-x}$ olur.
$$hx - x^2 = \dfrac {ac}4 \Rightarrow -ac = 4x^2 - 4hx \Rightarrow h^2 - ac = 4x^2 - 4hx + x^2 = (2x-h)^2$$ olduğundan $$2x-h = \pm \sqrt {h^2 - ac} \Rightarrow x = \dfrac h2 \pm \dfrac {\sqrt{h^2 - ac}}2$$ olur.
$h^2 = ac$ ise tek çözüm vardır.
$h^2 > ac$ ise iki çözüm vardır.
$h^2 < ac$ ise çözüm yoktur.
