Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1989 Soru 4

[geo]

$ABCD$ bir konveks dörtgen olsun ve $|AB|$, $|AD|$, $|BC|$ kenar uzunlukları $$|AB|=|AD|+|BC|$$ koşulunu sağlasın. Bu dörtgenin içinde aşağıdaki özelliklere uyan bir $P$ noktası vardır.

• $P$ noktasının $CD$ kenarına olan uzaklığı $h$ kadardır.
• $|AP|=h+|AD|$ ve $|BP| = h + |BC|$'dir.

Bu takdirde $$\dfrac 1{\sqrt h} \geq \dfrac 1{\sqrt {AD}} + \dfrac 1{\sqrt {BC}}$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Merkezleri $A$ ve $B$ olan ve birbirlerine $M$ noktasında dıştan teğet olan iki çemberin ortak teğeti $A$ merkezli çembere $D'$, $B$ merkezli çembere $C'$ noktasında değsin. $C'M$ küçük yayı üzerinde bir $C$ noktası, $D'M$ küçük yayı üzerinde bir $D$ noktası alalım. Söz konusu $ABCD$ dörtgeni soruda verilen dörtgenle aynı. İki çembere ve $CD$ ye teğet olan çemberin merkezi $P$, yarıçapı $h$ dir. Bu çember $CD$ ye $E$ noktasında değsin. Bu çember en büyüyük yarıçapını $D=D'$ ve $C=C'$ iken alır. Bu durumda, söz konusu $P=P'$ ve $E=E'$ olsun.

$ABCD$ dik yamuğunda, $(AM+BM)^2 - (AD'-BC')^2 = D'C'^2 \Rightarrow D'C' = 2\sqrt {AD \cdot BC}$.

$AP'E'D'$ dik yamuğunda, $E'D' = 2\sqrt {AD' \cdot P'E'} = 2\sqrt {AD \cdot h'}$.

$BP'E'C'$ dik yamuğunda, $E'C' = 2\sqrt {BC' \cdot P'E'} = 2\sqrt {BC \cdot h'}$.

$D'E'+E'C'=D'C' \Rightarrow \sqrt {h'} (\sqrt {AD} + \sqrt {BC}) = \sqrt {AD} \cdot \sqrt {BC}$

$\sqrt {h'} = \dfrac{\sqrt{AD} \cdot \sqrt{BC}}{\sqrt{AD} + \sqrt{BC}} \geq \sqrt {h}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{h}} \geq \dfrac{\sqrt{AD} + \sqrt{BC}}{\sqrt{AD} \cdot \sqrt{BC}} = \dfrac{1}{\sqrt {AD}} + \dfrac{1}{\sqrt{BC}}$