Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1989 Soru 2

[geo]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısının iç açıortayı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $A_1$ noktasında kesişmektedir. $B_1$ ve $C_1$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $B$ ve $C$ açılarının dış açıortaylarının $AA_1$ doğrusu ile kesişme noktası $A_0$ olsun. $B_0$ ve $C_0$ noktaları da benzer şekilde tanımlansın. Aşağıdakileri ispatlayınız:

• $A_0B_0C_0$ üçgeninin alanı, $AC_1BA_1CB_1$ altıgeninin alanının iki katına eşittir.
  
• $A_0B_0C_0$ üçgeninin alanı, $ABC$ üçgeninin alanının en az dört katıdır.

[geo]

$ABC$ üçgeninde $A_0, B_0, C_0$ dış teğet çember merkezleridir. $ABC$ nin iç merkezi $I$ olsun.

• $\angle BIA_1 = \angle ABI + \angle BAI = \angle IBC + \angle CBA_1 = \angle IBA_1 \Rightarrow IA_1 = A_1B$
  $IB$ iç açıortay, $A_0B$ de dış açıortay olduğu için $\angle IBA_0 = 90^\circ$ ve $BA_1 = A_1I=A_0A_1$. Dolayısıyla da, $[A_1BI] = [A_0A_1B]$.
  Benzer şekilde, $[A_0A_1C] = [IA_1C]$, $[B_0B_1C] = [IB_1C]$, $[B_0B_1A] = [IB_1A]$, $[C_0C_1A] = [IC_1A]$, $[C_0C_1B] = [IC_1B]$ olduğu için $2\cdot [AC_1BA_1CB_1] = [A_0B_0C_0]$
  
  
• $[A_0A]$, $[B_0B]$, $[C_0C]$; $\triangle A_0B_0C_0$ ın yükseklikleridir. $C_0BCB_0$ dörtgeni $\angle C_0BB_0 = \angle C_0CB_0$ olduğu için kirişler dörtgenidir. Yani, $\angle BCA_0 = \angle B_0C_0A_0$. Bu durumda, $\triangle CBA_0 \sim \triangle C_0B_0A_0$ dır. Benzerlik oranı, $\dfrac{BC}{B_0C_0} = \dfrac{A_0B}{A_0B_0} = \cos \angle A_0$ dır. Benzer şekilde, $AC = A_0C_0 \cdot \cos \angle B_0$ ve $AB = A_0B_0 \cdot \cos \angle C_0$.
  $\angle C_0A_0B_0=\angle BAC_0 = \angle CAB_0$ ve $\angle BAC = 180^\circ - 2\cdot \angle A_0$ olduğu için $$\begin{array}{rcl}
  [ABC] &=& \dfrac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \\
  &=& \dfrac 12 \cdot A_0B_0 \cdot \cos \angle C_0 \cdot A_0C_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \sin (180^\circ - 2 \cdot \angle A_0) \\
  &=& \dfrac 12 \cdot A_0B_0 \cdot A_0C_0 \cdot \sin (2\cdot \angle A_0) \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 \\
  &=& [A_0B_0C_0] \cdot 2 \cdot \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0
  \end{array}$$
  İddia: $\angle A_0 + \angle B_0 + \angle C_0 = 180^\circ \Rightarrow \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 \leq \dfrac 18$.
  
  İspat:
  $$\begin{array}{rcl}
  \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 &=& \dfrac 12 \left (\cos (\angle A_0 - \angle B_0) + \cos (\angle A_0 + \angle B_0) \right) \cdot \cos \angle C_0 \\
  &=& \dfrac 12 \left( \cos (\angle A_0 - \angle B_0) - \cos \angle C_0 \right) \cdot \cos \angle C_0
  \end{array}$$
  
  Diğer taraftan, $AO \geq GO$ dan $$4\cdot \cos (\angle A_0 - \angle C_0) \cdot \cos \angle C_0 \leq \cos^2 (\angle A_0 - \angle C_0) + 4 \cdot \cos^2 \angle C_0$$ $$ 4 \cdot \left ( \cos (\angle A_0 - \angle B_0) - \cos \angle C_0 \right) \cdot \cos \angle C_0 \leq \cos^2 (\angle A_0 - \angle C_0) \leq 1$$ $$8 \cdot \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0  \leq 1. \blacksquare$$
  Bu durumda, $4 \cdot [ABC] \leq [A_0B_0C_0]$.