Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 5

[geo]

$I$ ile, $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezini gösterelim. $ABC$'nin iç çemberinin $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $K$, $L$ ve $M$ olsun. $B$'den geçen ve $MK$'ya paralel olan doğru, $LM$ ve $LK$ doğrularını sırasıyla $R$ ve $S$ noktalarında kesiyor. $\angle RIS$'nin bir dar açı olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle RBM = \angle BMK = \angle MKB = \angle KBS = \alpha$.
$\angle BRM = \angle KML = \angle LKC = \angle BKS = \beta$.
$\angle BMR = \angle BSK = \theta$.

$(A.A)$ benzerliğinden $\triangle BRM \sim \triangle BKS$. $BM/ BS = BR / BK \Longrightarrow BM^2 = BS\cdot BR$.


$\triangle BIK$ dik üçgeninin hipotenüsü $BI$ üzerinde $BK=BI'$ olacak şekilde $I'$ noktası alalım.
$MK \perp BI$ olduğu için $BI \perp RS$. $BI'^2 = BM^2 = BS \cdot BR $ olduğu için Öklid'den $\angle RI'S = 90^\circ > \angle RIS$ dir.

import geomania;
size(560, 520);

// I ve S yon sabitleri oldugu icin: Ic = ic merkez I, Sp = S, Ip = I'
pair A = (2.6, 5.0), B = (0, 0), C = (7, 0);
pair Ic = incenter(A, B, C);
pair K = foot(Ic, B, C);
pair L = foot(Ic, C, A);
pair M = foot(Ic, A, B);
pair R  = extension(B, B + (K - M), L, M);
pair Sp = extension(B, B + (K - M), L, K);
pair Ip = B + distance(B, M)*unit(Ic - B);   // BI uzerinde BI' = BK = BM

pen ana  = black + linewidth(1.1);
pen ince = black + linewidth(0.7);
pen kir  = red + linewidth(1.0);
pen kird = red + linewidth(0.9) + dashed;

// ---- ANA SEKIL (siyah)
draw(A--B--C--cycle, ana);
draw(incircle(A, B, C), ince);
draw(M--K, ince);
draw(L--R, ince);
draw(L--Sp, ince);
draw(R + 0.10*(R - Sp) -- Sp + 0.10*(Sp - R), ana);
draw(Ic--R, ana);
draw(Ic--Sp, ana);
aciyay(R, Ic, Sp, black);

// ---- YARDIMCI OGELER (kirmizi)
draw(B -- Ic + 0.30*unit(Ic - B), kir);
draw(Ic--M, kird);
draw(Ic--K, kird);
draw(Ip--R, kir);
draw(Ip--Sp, kir);
dikacinokta(R, Ip, Sp, kir);
dikacinokta(Ic, K, B, kir);
dikacinokta(B, M, Ic, kir);
dikacinokta(Sp, B, Ic, kir);
pathticks(B--M, 1, 0.5, 3, 8, kir);
pathticks(B--K, 1, 0.5, 3, 8, kir);
pathticks(B--Ip, 1, 0.5, 3, 8, kir);
acicentik(L, M, A, 1, kir);
acicentik(R, M, B, 1, kir);
acicentik(A, L, M, 1, kir);
acicentik(K, L, C, 2, kir);
acicentik(C, K, L, 2, kir);
acicentik(B, K, Sp, 2, kir);

// ---- noktalar ve etiketler
dot("$A$", A, N);    dot("$B$", B, SW);   dot("$C$", C, E);
dot("$I$", Ic, N);  dot("$K$", K, SE);    dot("$L$", L, NE);
dot("$M$", M, NW);   dot("$R$", R, W);   dot("$S$", Sp, W);
dot("$I'$", Ip, N, red);