Simetri eksenlerinden birini ele alalım. $S$ nin noktalarından bazıları bu simetri ekseni üzerinde olabilir, geri kalan nokta çiftlerinin orta noktaları bu simetri ekseni üzerindedir. O halde, $S$ nin ağırlık merkezi herhangi bir simetri ekseni üzerinde olmalı. Bu durumda tüm simetri eksenleri $S$ nin ağırlık merkezi $G$ de kesişir. Simetri eksenleri orta dikmeler olacağı için $S$, $G$ merkezli bir çemberin noktalarıdır. $S$ nin ardışık $3$ elemanı sırasıyla $A$, $B$, $C$ olsun. $B$, $AC$ nin orta dikmesi üzerinde olmalı. Bu durumda $AB=BC$, dolayısıyla da $S$ bir düzgün çokgenin köşeleridir.
Not:
Bu sorunun IMO Shortlist'inde yer alan versiyonu şu şekildedir:
Aşağıdaki koşulları sağlayan ve uzayda en az üç noktadan oluşan $S$ noktalar kümesine tam simetrik diyeceğiz:
$S$ nin herhangi iki farklı $A$, $B$ noktası için $AB$ doğru parçasını ortalayan ve $AB$ doğru parçasına dik olan düzlem, $S$ nin bir simetri düzlemidir.
Sonlu tam simetrik bir kümenin ya düzgün bir çokgenin ya düzgün bir dörtyüzlünün ya da düzgün bir sekizyüzlünün köşelerinden oluşması gerektiğini kanıtlayınız.
