Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 1

[geo]

Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $BC$ üzerindeki $P$, $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı olsun.
$\angle BCA \geq \angle ABC + 30^\circ$ olduğunu kabul edelim.
$\angle CAB + \angle COP < 90^\circ$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$BC$ nin orta noktası $M$ olsun.

size(10cm);
pair B = (0,0);
pair C = (4,0);
pair A = (3,3);
pair O = circumcenter(A,B,C);
pair P = foot(A,B,C);
pair M = midpoint(B,C);
pair Q = foot(O, A, P);

draw(A--B--C--cycle);
draw(A--P);
draw(O--Q, dashed + red);
draw(O--M, dashed + red);
draw(B--O, dashed);
draw(C--O, dashed);
draw(O--P, dashed);
draw(A--O, dashed);

draw(rightanglemark(A, Q, O, 4));
draw(rightanglemark(O, M, B, 4));



dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, W);
dot("$C$", C, E);
dot("$O$", O, NW);
dot("$P$", P, S);
dot("$M$", M, S, red);
dot("$Q$", Q, E, red);

$\angle OAC = 90^\circ - \angle ABC$ ve $\angle PAC = 90^\circ - \angle BCA$ olduğu için $\angle OAP = (90^\circ - \angle ABC) - (90^\circ - \angle BCA) = \angle BCA - \angle ABC \geq 30^\circ$.
$O$ dan $AP$ ye inilen dikmenin ayağı $Q$ olsun. $\angle OAQ \geq 30^\circ$ olduğu için $OQ \geq AO \cdot \sin 30^\circ = \dfrac {AO}2$.
$OQ \geq AO - OQ = OC - MP > MC - MP = PC$.
$\angle POC < OCP = 90^\circ - \angle MOC = 90^\circ - \angle CAB$.