Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2004 Soru 1

[geo]

$ABC$, kenarları arasında $AB \neq AC$ bağıntısı olan dar açılı bir üçgen olsun. $BC$ çaplı çember, $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $BC$ kenarının orta noktasını $O$ ile gösterelim. $\angle BAC$ ve $\angle MON$ açılarının iç açıortayları $R$ de kesişmektedir. $BMR$ ve $CNR$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $BC$ kenarı üzerinde yer alan ortak bir noktalarının olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$OM=ON$ ve $OR$ $\angle MON$ nin açıortayı olduğu için $RM=RN$ dir.
$\triangle AMR$ ile $\triangle ANR$ de $AR$ ortak, $MR=RN$ olduğu için $\sin \angle AMR = \sin \angle ANR$ dir. $AB \neq AC$ olduğu için $AM \neq AN$ dir. O halde, $\angle AMR + \angle ANR = 180^\circ$ dir.
$BC$ üzerinde $\angle BKR = \angle AMR$ olacak şekilde bir $K$ noktası aldığımızda $\angle BKR = \angle RNC$ olacaktır. O halde, $BMRK$ dörtgeni ile $CNRK$ dörtgeni birer kirişler dörtgenidir.