Tübitak Genç Takım Seçme 2012 Soru 4

[geo]

$a+b+c=4$ koşulunu sağlayan tüm $a, b, c$ negatif olmayan gerçel sayıları için, $$a^2+b^2+c^2 + 3abc \geq M(ab+bc+ca)$$ olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sabitini bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

Umarım okunuyordur. kendi çözümümü paylaşıyorum.

[ygzgndgn]

$p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$ olsun. $p=4$ olmak üzere eşitsizlik $$p^2-2q+3r\geq Mq$$ haline gelir. Düzenlersek $$(M+2)q\leq p^2+3r$$ gelir. $q^2\geq 3pr\Rightarrow 3r\leq \frac{q^2}{p}$ olduğunu kullanırsak $$(M+2)q\leq p^2+3r\leq p^2+\frac{q^2}{p}\Rightarrow M\leq \frac{p^2}{q}+\frac{q}{p}-2$$ gelir. $p=4$ olduğunu kullanırsak $$M\leq \frac{q^2+64}{4q}-2=f(q)-2$$ buluruz. $f(q)$ minimum değerini alırsa sağ taraf minimum değerini alır, böylelikle alt sınırı bulmuş oluruz. $f(q)$ işlem aralığımızda konvekstir. Bu sebeple global minimumunu türev yardımıyla bulabiliriz. $$f'(q)=\frac{4q^2-256}{16q^2}=0\Rightarrow q=8$$ buluruz. O halde $f(q)\geq 4$ olmalıdır. Bu ise $f(q)-2\geq 4-2=2\geq M$ olmasını sağlar. $q=8$ eşitliği verir. Cevap $M=2$ olarak bulunur. Eşitlik durumunu irdeleyelim. $(a,b,c)=(2,2,0)$ sağlar.

[ygzgndgn]

(Yağız Gündoğan)
Genelleştirme:

$a+b+c=p_0$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları için $$a^2+b^2+c^2+Kabc\geq M(ab+bc+ca)$$ olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sabitini $K$ ve $p_0$ pozitif reel sayıları cinsinden bulunuz.

Çözüm:

$p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$ olsun. $p=p_0$ olmak üzere eşitsizlik $$p^2-2q+Kr\geq Mq$$ haline gelir. Düzenlersek $$(M+2)q\leq p^2+Kr$$ gelir. $q^2\geq 3pr\Rightarrow Kr\leq \frac{Kq^2}{3p}$ olduğunu kullanırsak $$(M+2)q\leq p^2+Kr\leq p^2+\frac{Kq^2}{3p}\Rightarrow M\leq \frac{p^2}{q}+\frac{Kq}{3p}-2$$ gelir. $p=p_0$ olduğunu kullanırsak $$M\leq \frac{\frac{K}{3}q^2+p_0^3}{p_0q}-2=f(q)-2$$ buluruz. $f(q)$ minimum değerini alırsa sağ taraf minimum değerini alır, böylelikle alt sınırı bulmuş oluruz. $f(q)$ işlem aralığımızda konvekstir. Bu sebeple global minimumunu türev yardımıyla bulabiliriz. $$f'(q)=\frac{\frac{2K}{3}q\cdot p_0q-(\frac{K}{3}q^2+p_0^3)(p_0)}{p_0^2q^2}=\frac{\frac{K}{3}p_0q^2-p_0^4}{p_0^2q^2}=0\Rightarrow q=\sqrt{\frac{3p_0^3}{K}}$$ buluruz. O halde $f(q)\geq f(\sqrt{\frac{3p_0^3}{K}})=\frac{2p_0^2}{\sqrt{\frac{3p_0^3}{K}}}=2p_0^2\cdot\sqrt{\frac{K}{3p_0^3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}Kp_0}$ olmalıdır. Buradan cevap $$M=2\sqrt{\frac{1}{3}Kp_0}-2$$ gelir.