Tübitak Genç Takım Seçme 2012 Soru 1

[geo]

Küpü $n$ den büyük olmayan her pozitif tam sayı ile bölünen en büyük $n$ pozitif tam sayısını bulunuz.

(Şahin Emrah)

[Buğra Doğan]

Basit ve orijinal bir soru..

Küpü n'den büyük olmayan her pozitif tam sayıya bölünebilen en büyük pozitif tam sayı soruluyor..
Sorumuzu okuduktan sonra bu soruda aslında sırasıyla olacak şekilde (1,2,3,4,5...) en fazla sayıda pozitif tamsayıya hem bölünsün hemde bunlarının en büyüğünün yani sonuncusunun kübünden daha büyük bir sayı olsun demek istiyor. Ancak matematiksel olarak dikkatimizi çekiyor ki biz bu koşula uyan en büyük tamsayıyı arıyorsak bu tamsayı bir çok asal sayıyı çarpanı olarak barındırmak zorunda.

Sırasıyla pozitif tam sayılarımıza bakalım; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19...... diye devam ediyor.
Örneğin bu sayı 19 un kübünden büyük 20 nin kübünden küçük bir sayı ise içerisinde çarpan olarak ; 19,17,13,11,7,5,3,2 yi zaten çarpan şeklinde bulundurmak zorundadır.
Ancak kontrol ediyoruz ki; Denediğimiz sayı (19'a göre); 6859-8000 arasında olmak zorunda olmasına rağmen bulundurması zorunlu çarpanlarının çarpımı; 9699690 gibi çok büyük bir sayı. Demekki bizden bulmamızı istediği en büyük pozitif tamsayı; içerisinde çarpım olarak sayıyı yükseltebilecek asallardan pek bulundurmamalı..

Şimdi durumu küçültüp 11 ve 12'nin kübü arasından bir sayıya göre deneyelim ve bu sayıda en az 2,3,5,7,11 i içerisinde barındırmalıdır. Sayılarımızın limit büyüklükleri arasındaki fark oldukça azaldı ancak sonuç olarak yine çarpanların çarpımı sayımızın küp aralığından daha büyük.

11 den önceki asalımız 7. Çarpımı düşürmek amaçlı kolaylık olsun diye bir önceki asalımıza atladım. Bir de 7 ve 8'in kübü arasındaki sayılarımıza bakalım. Küpler; 343-512.. Bulundurması zorunlu asallar; 2,3,5,7.. Bunların çarpımı ise 210.. Şimdi ise arada kalan diğer pozitif tam sayılarımıza bakalım; 4,6.. Çarpanlarımıza 2 ve 3 ün eklenmesi gerekiyor. Sonuç olarak; 2²,3,5,7=420 sayısına ulaşırız. Bu sayı sorumuzdaki koşulu sağlayabiliyor. Eğer 7 değilde 8 sayısını sınır olarak koysaydık; 8 ve 9 un küpleri; 512-729, koşula göre istenilen sayının çarpanları 2³,3,5,7 olmalıdır bu sayıda 840 sayısıdır ve üst limit dışıdır. Yani koşulumuzu sağlayan en büyük tam sayımız 420 dir.

Cevap=420..

[MATSEVER 27]

$m^3 \leq n < (m+1)^3$ olduğunu varsayalım.  $\dfrac {m(m-1)(m-2)(m-3)} {12} \leq \textrm{okek}[1,2,\ldots,m-1,m] \leq n \leq m^3 + 3m^2 + 3m$ olması gerekir çünkü $(m,m-1) = 1$, $(m,m-2) \leq 2$, $(m,m-3) \leq 3$, $(m-1,m-2) = 1$, $(m-1,m-3) \leq 2$, $(m-2,m-3) = 1$ idir. Bu da $m \le 19$ demektir. Buradan sonra küçük bir hesap yapacağız. $m \ge 11$ için $\textrm{okek}[1,2,\ldots,m] \geq \textrm{okek}[1,2,\ldots,11] = 27720 > 20^3$ ve $\textrm{okek}[1,2,\ldots,10] = 2520 > 11^3$ , $\textrm{lcm}[1,2,\ldots,8] = 840 > 9^3$ ve $\textrm{okek}[1,2,\ldots,7] = 420 < 8^3$ o halde aradğımız değer $n=420$ dir.

Bkz: APMO 1998