(Mehmet Utku Özbek)
$\dfrac{a}{2a^2+b^2+3}=\dfrac{a}{a^2+1+a^2+1+b^2+1}$ şeklinde yazıp A.G.O yapalım:
$a^2+1 \ge 2a , b^2+1 \ge 2b \Longrightarrow \dfrac{a}{2a^2+b^2+3} \le \dfrac{a}{2a+2a+2b}=\dfrac{a}{4a+2b}$
Benzer şekilde diğer kesirleri de yazarsak ; $\dfrac{b}{2b^2+c^2+3} \le \dfrac{b}{4b+2c} , \dfrac{c}{2c^2+a^2+3} \le \dfrac{c}{4c+2a}$ olur. O zaman şu ifadeyi ispatlarsak soru biter:
$\Longrightarrow \dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+\dfrac{c}{2c+a} \le 1$
Paydaları eşitleyip taraf tarafa çarpalım:
$\Longrightarrow (2a+b)(2b+c)(2c+a) \ge a(2b+c)(2c+a)+b(2a+b)(2c+a)+c(2a+b)(2b+c)$ olduğunu ispatlamalıyız. İfadeyi açalım:
$\Longrightarrow 9abc+4a^2b+4a^2c+4b^2c+2a^2c+2b^2a+2bc^2 \ge 12abc+4a^2b+4a^2c+4b^2c+a^2c+ab^2+bc^2$
$\Longrightarrow a^2c+ab^2+bc^2 \ge 3abc$ olduğunu ispatlamalıyız. Ki bu da A.G.O dan elde edilebilir:
$\Longrightarrow a^2c+ab^2+bc^2 \ge 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc$ İspat biter.
