Pole-Polar

[geo]

Bir $P$ noktasından çembere çizilen teğetler, çembere $A$ ve $C$ noktasında dokunuyor. $AC$ kirişi üzerinde bir $E$ noktası alınıyor. $[PE$ çemberi önce $B$ de, sonra $D$ de kesiyor. $(AED)$ çemberi $PA$ yı ikinci kez $X$ te, $(BEC)$ çemberi $PC$ yi ikinci kez $Y$ de kessin. $AX^2=CY^2=AE \cdot EC$ olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$m(AXD)+m(AED)=180^\circ , m(CYD)+m(CED)=180^\circ , m(AED)+m(CED)=180^\circ$ olduğundan
 
$m(AXD)+m(CYD)=180^\circ$ olur. Buna göre, $PXDY$ kirişler dörtgenidir.

$m(XAE)=m(YCE)$ olduğundan $m(XDE)=m(YDE)$ olur. $PXDY$ kirişler dörtgeni olduğundan $|PX|=|PY|$ dir.

Ayrıca $|PA|=|PC|$ olduğundan, $|AX|=|CY|$ olur.

$m(XDY)+m(XPY)=180^\circ$  ve  $2m(ADC)+m(APC)=180^\circ$ olduğundan, $m(XDA)=m(EDC)$ ve  $m(ADE)=m(YDC)$ olur.

$\triangle{AXE} \sim \triangle{CEY}$ olup bu benzerliğe göre,  $\dfrac{AX}{EC}=\dfrac{AE}{CY}$ dir.