Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 36

[ERhan ERdoğan]

Başlangıçta $n\times n$ bir satranç tahtasının yalnızca sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı bulunduğu karenin hemen sağındaki, hemen üstündeki veya hemen sağ üst çaprazındaki kareye kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $6\times 7, 6\times 8, 7\times 7, 7\times 8$ ve $8\times 8$ tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $4$.
$8 \times 8$ bir satranç tahtasının her birim karesine, oyun bu birim kareden başladığı durumda birinci oyuncu kazanıyorsa $1$, ikinci oyuncu kazanıyorsa $0$ yazalım. Bu işlemi sağ üst birim kareden başlatalım. Elde edilen tablo aşağıya çıkarılmıştır:
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
$$ Bu tabloya göre, oyunu $6 \times 7,6 \times 8,7 \times 8$ ve $8 \times 8$ tahtalarında birinci, $7 \times 7$ tahtasında ikinci oyuncu kazanacaktır.

Kaynak: Tübitak 18. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2010