Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

$m ( \widehat{ABC} )=90^{\circ}$ ve $|AC|=10$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AC]$ kenarının orta noktası $D$ olmak üzere, $[AD]$ ve $[BD]$ nin orta dikmeleri $E$ noktasında, $[BD]$ ve $[CD]$ nin orta dikmeleri de $F$ noktasında kesişiyor. $|EF|=13$ ise, $|AB|$ aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

$
\textbf{a)}\ 20\sqrt{\dfrac{2}{13}}
\qquad\textbf{b)}\ 15\sqrt{\dfrac{2}{13}}
\qquad\textbf{c)}\ 10\sqrt{\dfrac{2}{13}}
\qquad\textbf{d)}\ 5\sqrt{\dfrac{2}{13}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$ED \parallel BC$ ve $DF \parallel AB$ dir. Yani $\angle EDF = 90^\circ$.
$BD$ nin orta noktası $M$ olsun. $AD=DC=BD=2\cdot DM = 5$ tir.
$EF$ nin orta noktası $O$ olsun. $EDF$ dik üçgeninde $DO = 13/2$ dir.
$MDO$ üçgeni bir $5-12-13$ üçgenidir. Bu durumda, $DM=5/2$ ve $MF=6 + 13/2 = 25/2$ olur.
$\angle DMF = \angle DCB$ olduğu için $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DM}{MF} = \dfrac 14$ tür.
$\triangle ABC$ bir $x-4x-x\sqrt {26}$ üçgenidir. $x\sqrt {26} = 10$ dersek $x = 5\sqrt {\dfrac 2{13}}$ ya da $x = 25\sqrt {\dfrac 2{13}}$.