Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki $(A,B)$ ikililerinden hangisi için $$x^{2}+xy+y=A$$ $$\dfrac{y}{y-x}=B$$ denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur?


$
\textbf{a)}\ (1/2,2)
\qquad\textbf{b)}\ (-1,1)
\qquad\textbf{c)}\ (\sqrt{2},\sqrt{2})
\qquad\textbf{d)}\ (1,1/2)
\qquad\textbf{e)}\ (2,2/3)
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

İkinci eşitlikten elde ettiğimiz $y = \dfrac{Bx}{B-1}$ değerini ilk eşitlikte yerine yazarsak $(2B-1)x^2 + Bx + A - AB = 0$ ikinci dereceden denklemini elde ederiz. $\Delta < 0$ olması gerektiği için $B^2 - 4A(1-B)(2B-1) < 0$ elde etmemiz gerek. $(1-B)(2B-1)$ ifadesine yoğunlaşırsak, $B=1$ veya $B= \dfrac 12$ değerleri için eşitsizliğin sağlanmadığını, dolayısıyla cevabın $(B)$ ya da $(D)$ olamayacağını görürüz. $(A)$ ve $(C)$ şıklarında $A>0$ ve $B$ değerleri de $(1-B)(2B-1)$ ifadesini negatif yaptığı için bu şıklar da eşitsizliği sağlamaz. Geriye tek bir ikili, yani $(2, 2/3)$ kalıyor. Yerine yazarsak $\dfrac 49 - 4\cdot 2 \cdot \dfrac 13 \cdot \dfrac 13 = - \dfrac 49 < 0$ olduğunu görürüz.