Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

$m$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $3x^{2}+4y^{2}-5z^{2}=m$ eşitliğini sağlayan $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?


$
\textbf{a)}\ 16
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed {D}$

$i) \ m=8$ için $x=y=z=2$ alırsak eşitlik sağlar.

$ii) \ m=12$ için ifadeyi $\mod 4$ 'de incelersek $3x^2-5z^2\equiv 0\pmod {4} $ olur.Buradan $x$ ve $z$ çift bulunur. $x=2a$ ve $z=2b$ yazarsak ifade $3a^2+y^2-5b^2=3$ olur. $y=b=3c$ alalım. İfade, $a^2-12c^2=1$ olur. $(a,c)=(7,2)$ sağlar. Buradan $(x,y,z)=(14,6,12)$ çözümü bulunur.

$iii) \ m=14$ için $(x,y,z)=(1,2,1)$ alırsak sağlar.

$iv)\ m=16$ için $x=z$ alalım. İfade $2y^2-x^2=8$ olur.$(x,y)=(8,6)$ sağlar, buradan $(x,y,z)=(8,6,8)$ çözümü bulunur.

$v) \ m=10$ için ifadeye $\mod5$'de bakarsak $x$ ve $y$'nin $5$'in katı olduğu görülür.$x=5a$ ve $y=5b$ yazarsak ifade $15a^2+20b^2-z^2=2$ bulunur. Fakat $\mod 5 $'te bu imkansızdır. Çözüm gelmez.