Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

Merkezleri aynı ve yarıçapları $10$ ve $20$ birim olan iki düzlemdeş daireyi sırasıyla taban kabul eden, her biri $10$ birim yüksekliğinde bir dik silindir ve bir dik koni düzlemin aynı tarafında kalacak biçimde alınıyor.Koninin silindirin içinde kalan kısmının hacminin,silindirin dışında kalan kısmının hacmine oranı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{3}
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Koninin tabanının merkezi $A$ olsun. Koninin $AC$ yarıçapı, silindiri $B$ de terk etsin. Yani $AB$ silindirin taban yarıçapı olsun. $AB=BC$ olduğu için koni silindiri tam yanal ayrıtının orta noktasında keser. Koninin silindirin üst kısmında kalan bölgesinin hacmine $V$ dersek, koni haciminde silindirden farklı olarak $\frac 13$ olduğu için, silindirin üst yarısı $3V$ hacminde olacak. Bu durumda, koninin silindirin içinde kalan hacmi $V+3V = 4V$ olacaktır.
Diğer taraftan koninin silindirin üst yarısında kalan kısmı ile konin tamamı arasında $\frac 12$ benzerlik oranı vardır. Bu durumda hacimler oranı $\frac 18$ olacağı için koninin toplam hacmi $8V$ olacaktır. $\dfrac {4V}{4V} = 1$.