Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

Uzayda yer alan $A,B,C,D$ noktaları için, $|AB|=|AC|=3 , |DB|=|DC|=5 ,  |AD|=6$ ve $|BC|=2$ dir.
$BC$ doğrusunun $D$ noktasına en yakın noktası $P$ ve $ABC$ üçgeninin bulunduğu düzlemin $D$ noktasına en yakın noktası $Q$ ise, $|PQ|$ kaçtır?


$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3\sqrt{7}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{57}{2\sqrt{11}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{2\sqrt{11}}
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{2}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{A}$

$|AD|^2 > |PD|^2+|PA|^2$ olduğundan $ m \left (DPA \right ) > 90^{\circ}$ dir. Buna göre, $D$ nin izdüşümü olan $Q$ noktası $ABC$ üçgeninin dış bölgesindedir.

Sırasıyla $DQP$ ve $DQA$ dik üçgenlerinde pisagor teoremleri uygulayarak $|PQ|$ değerini bulacağız.
$$|DQ|^2+|PQ|^2=24 \tag{1}$$ $$|DQ|^2+|PQ|^2+4\sqrt{2}|PQ|=28 \tag{2}$$ $(1)$ ve $(2)$ den $|PQ|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olur.