Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 07

[ERhan ERdoğan]

$r$ metre yarı çaplı daire biçiminde bir adacığın merkezinde duran bir kurbağa $1/2$ metrelik bir atlayışla başlayıp, her seferinde $90^{\circ}$ sağa veya sola dönerek bir öncekinin yarısı uzunluğunda bir atlayış yapıyor. Sonlu sayıda atlayışta kurbağanın suya varamamasını sağlayan en küçük $r$ değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{5}}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{13}}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{19}}{6}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Kurbağa $n$. atlayışında $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ metrelik bir atlayış yapıyor. Kurbağanın başlangıç noktasını orijin kabul edersek ve ilk atlayışını yaptığı yerle orijini birleştiren doğruyu $x$-ekseni olarak alırsak, kurbağanın $(2k-1).$ atlayışını $x$ ekseni üzerinde veya paralel yapacağını $(2k).$ atlayışını $y$ ekseni üzerinde veya paralel yapacağını görürüz. Bu durumda $a_i=1$ veya $-1$ olmak üzere kurbağanın koordinatları $$\left(a_1\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^1+a_3\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots, a_2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+a_4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4+\cdots\right)$$ şeklinde olacaktır. Kurbağanın merkezden gidebileceği en uzak mesafe için $a_i$'lerin hepsinin aynı parite içerisinde $1$ veya hepsinin $-1$ olması gerekir. Genelliği bozmadan hepsi $1$ olsun diyebiliriz. Bu durumda kurbağanın sonsuz adım atsa bile gidebileceği en uzak mesafeli koordinat $$\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k-1}, ~~\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k}\right)$$ olacaktır. $$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\dfrac{1}{3}$$ olduğundan $$\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k-1}, ~~\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k}\right)=\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)$$ olur. Yani kurbağa $\sqrt{\dfrac{2^2+1^2}{3^2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ metreden daha uzağa gidemez. $r$ en az $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ olmalıdır.