$x_1 = x_2 = \cdots =x_{5} = 1$, $x_6=x_7=\cdots = x_{10} = 6$ alındığında $10$ pozitif tam sayı arasından herhangi $6$ tanesinin toplamı $6$ ile bölünmüyor.
$3$ tam sayı arasından, ikisinin $2$ ye bölümünden kalan aynı olacağı için, bu ikisinin toplamı $2$ ile bölünür.
$5$ tam sayının $3$ ile bölümünden $3$ farklı kalan elde ediliyorsa, bu kalanları veren birer sayı (toplamda $3$) toplanarak elde edilen sayı ($0+1+2=3$ olduğu için) $3$ ile bölünür. $5$ tam sayının $3$ ile bölümünden elde edilen farklı kalanlar $3$ ten az sayıda ise, güvercin yuvası gereği en az $\left \lceil \frac 52 \right \rceil = 3$ tanesi aynı olacak. Bu $3$ aynı kalanlı sayıyı topladığımızda, toplam $3$ ile bölünecek.
$11>3$ sayıdan toplamları $2$ ile bölünen iki tanesi bulunabilir. Bu sayılar, $x_1$ ve $x_2$ olsun. $2 \mid y_1 = x_1 + x_2$.
Geri kalan $9 > 3$ sayıdan aynı şekilde $2 \mid y_2 = x_3 + x_4$, geri kalan $7 > 3$ sayıdan aynı şekilde $2 \mid y_3 = x_5 + x_6$, geri kalan $5 > 3$ sayıdan aynı şekilde $2 \mid y_4 = x_7 + x_8$, geri kalan $3$ sayıdan aynı şekilde $2 \mid y_5 = x_9 + x_{10}$ olacak şekilde sayılar bulunur.
$y_1/2$, $y_2/2$, $y_3/2$, $y_4/2$, $y_5/2$ sayılarından öyle $3$ ü vardır ki, toplamları $3$ ile bölünür. Bunlar $y_1/2$, $y_2/2$, $y_3/2$ olsun. Bu durumda, $3 \mid \dfrac{x_1+x_2 + x_3 + x_4 + x_5 +x_6}2$, dolayısıyla $6 \mid x_1+x_2 + \cdots + x_6$ olur.
Kaynak:
Mathematical miniatures, Svetoslav Savchec-Titu Andreescu, Sayfa 179.
