Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 02

[alpercay]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere,  $2012^n+m^2$ sayısının $11$ ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 55
\qquad\textbf{b)}\ 46
\qquad\textbf{c)}\ 43
\qquad\textbf{d)}\ 39
\qquad\textbf{e)}\ 37
$

[alfıeoktay]

Yanıt: $\boxed{D}$

$2012 \equiv -1 \pmod {11}$,

$n$ çift ise $2012^n \equiv 1 \pmod{11}$ ve
$n$ tek ise $2012^n \equiv -1 \pmod{11}$ dir.
   
$m^2 \equiv 0,1,3,5,9 \pmod{11}$ olacağından bu değerlere $1$ ekleyeceğiz ya da bu değerlerden $1$ çıkaracağız. Sonuç olarak elde edilen küme $\{0,1,2,3,4,5,6,8,10\}$ ve bunların toplamı $39$ dur.