Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

$2011^{(2011^{(2011^{(2011^{2011})})})}$ sayısının $19$ ile bölümünden kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$(2011,19) = 1$ ve $\varphi(19) = 18$ olduğu için $2011^{\left (2011^{\left (2011^{2011}\right )} \right )} = 18k_1 + a_1$ i bulmamız gerekiyor.
$(2011,18) = 1$ ve $\varphi(18) = 6$ olduğu için $2011^{\left (2011^{2011}\right)} = 6k_2 + a_2$ yi bulmamız gerekiyor.
$2011^{\left (2011^{2011}\right)} \equiv 1^{\left (2011^{2011}\right)} \equiv 1 \pmod 6 \Rightarrow a_2 = 1$.
$2011^{\left (2011^{\left (2011^{2011}\right )} \right ) }\equiv 2011^{6k_2+1} \equiv 2011 \equiv 13 \pmod {18} \Rightarrow a_1 = 13$.
$2011^{\left (2011^{\left (2011^{\left (2011^{2011}\right )} \right ) }\right)} \equiv 2011^{18k_1+13} \equiv 16^{13} \pmod {19}$.

$1 \equiv 16^{13} \cdot 16^{5} \equiv 16^{13} \cdot (-3)^5 \pmod{19} $

$16^{13} \cdot 3^4 \cdot 3 \equiv 18 \pmod {19}$
$16^{13} \cdot 5 \equiv 6 \equiv 25 \pmod {19} \Rightarrow 16^{13} \equiv 5 \pmod {19}$.