Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin $xy$-düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur?

$
\textbf{a)}\ x^{2}+y^{2}\leqslant 1
\qquad\textbf{b)}\ \left | x+y \right |+\left | x-y \right |\leqslant 1
\qquad\textbf{c)}\ \left | x \right |^{3}+\left | y \right |^{3}\leqslant 1 \\
\textbf{d)}\ \left | x \right |+\left | y \right |\leqslant 1
\qquad\textbf{e)}\ \left | x \right |^{\frac{1}{2}}+\left | y \right |^{\frac{1}{2}}\leqslant 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$(e)$ şıkkının karesini alalım: $|x| + |y| + 2\sqrt{|xy|} \leq 1$

$x+y=1$ olduğu zaman $|x| + |y| \geq |x+y| = 1$ olacağı için $xy=0$ olmalı. $x+y=1$ ve $xy=0$ sisteminin ise iki çözümü vardır. $(0,1)$ ve $(1,0)$.

Eşitsizliğin Wolfram Alpha Grafiği incelendiğinde iç bükey bir bölge görülür. Bu bölge ile iki noktada kesişen dört doğru bulunur.

Diğer şıkları da inceleyelim:

$(a)$ şıkkı bir çember denklemidir. Bu durumda bir doğru ile kesişim kümesi $0,1, \infty$ elemanlı olabilir. Grafik

$(b)$ şıkkındaki $|x+y|+|x-y| = 1$ denklemi bir kare belirtir. Grafik

$(c)$ şıkkı için $x^3 + y^3 = 1$ i $1.$ bölgede incelediğimizde çembere benzeyen bir dış bükey eğri elde ederiz. Diğer eksenler için simetrik durum söz konusudur. Wolfram'a grafiği çizdirdiğimizde tüplü televizyon vari bir şekille karşılaşırız.

$(d)$ şıkkının grafiğinin bir kare olduğu açıktır.