Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$f\left ( 0 \right )=0$, $f\left ( 1 \right )=1$ ve her $n\geqslant 1$ için, $f\left ( 3n-1 \right )=f\left ( n \right )-1$, $f(3n)=f(n)$, $f\left ( 3n+1 \right )=f\left ( n \right )+1$ ise, $f\left(2011\right)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$3$ e bölümden kalanların $-1,0,1$ olduğu bir bölme işlemiyle $2011$ yi mütemadiyen $3$ e bölelim.

$f(2011) = f(3 \cdot 670) + 1$

$f(670) = f(3\cdot 223) + 1$

$f(223) = f(3\cdot 74) + 1$

$f(74) = f(3 \cdot 25) - 1$

$f(25) = f(3 \cdot 8 ) + 1$

$f( 8 ) = f(3 \cdot 3 ) - 1$

$f(3) = f(3 \cdot 1 )$

$f( 1 ) = 1$

Taraf tarafa toplarsak $f(2011) = 1 -1 +1 -1+1+1+1 = 3$ olur.