Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$xy$-düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı $6$ ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmızı olanların sayısına oranı aşağıdakilerden hangisine en yakındır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{7}{5}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{3}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{5}{4}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$xy \equiv 0 \pmod 6$ denkliğinin $15$ çözümü vardır. $36$ $(x,y)$ ikilisiden $21$ i ise çözüm değildir. Bu durumda kenarları koordinat eksenlerine paralel olan ama hiçbir kenarı eksenleri tam sayı bir koordinatta kesmeyen $6\times 6$ büyüklükteki herhangi bir karede beyaz noktaların sayısının kırmızı noktaların sayısına oranı $\dfrac {21}{15} = \dfrac 75 $tir.

$36n^2<x^2\leq 36(n+1)^2$ olmak üzere;
Çok büyük $x\times x$ bir kare alındığında karenin içerisinde tam sayı koordinattan başlamayan $6n \times 6n$ lik bir alanda kalan beyaz noktaların sayısı $21n^2$, kırmızı noktaların sayısı $15n^2$ dir.
$x^2 - 36n^2 \leq 36(n+1)^2 - 36n^2 = 72n+1$ olduğu için $x \times x$ karenin $36n^2$ lik alan dışında kalan kısmındaki beyaz noktaların sayısı $B(n)$ ya da kırmızı noktaların sayısı $K(n)$ en fazla $72n+1$ olabilir.

Bu durumda aradığımız oran $\dfrac{21n^2 + B(n)}{15n^2 + K(n)}$ olacaktır. Hem $B(n)$ hem de $K(n)$, $n$ cinsinden derecesi en fazla $1$ olan fonksiyonlar olduğu için $n\to \infty$ giderken ihmal edilebilir olacaktır.