Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 34

[ERhan ERdoğan]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $2^{n}$ sayısının on tabanına göre sağdan en çok kaç basamakta aynı sayı yer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Son $4$ basamağın aynı olduğunu kabul edelim.
$m \in \{2,4,6,8\}$ olmak üzere $2^n = 10000k + 1111 \cdot m$ olacaktır. İki tarafı $\bmod {16}$ da incelersek $0 \not\equiv 1111 \cdot m \pmod {16} $ olacağı için son dört basamak aynı rakamdan oluşamaz.

Son $3$ basamağın aynı olduğunu kabul edelim.
$2^n = 1000k + 111\cdot m$ olacaktır. İki tarafı $\bmod {8}$ de incelersek $0 \not\equiv 1111 \cdot m \pmod {8} $ olacağı için $m=8$ olmalı.
Her iki tarafı $8$ e bölersek $2^{n-3} = 125k + 111$ elde ederiz.
$2^{x} \equiv 111 \pmod{125}$ denkliğinin çözümü varsa $2^n$ sayısının son üç hanesi $888$ olacaktır.
$2^7 \equiv 3 \pmod {125} \Rightarrow 2^{35} \equiv 3^5 \equiv -7 \pmod {125} \Rightarrow 2^{36} \equiv -14 \equiv 111 \pmod {125}$.
O halde $m=36$, yani $n=39$ için, $2^{39}$ un son üç basamağı $888$ dir.