Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki fonsiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{x^{2}}{1+x^{12}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{x^{3}}{1+x^{11}}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{x^{4}}{1+x^{10}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{x^{5}}{1+x^{9}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{x^{6}}{1+x^{8}}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Şıklardaki fonksiyonları $a(x), b(x), c(x),d(x), e(x)$ diye adlandıralım.

$d(x)$, en büyük değerini $m$ de alsın.

$d(m) > d\left ( \frac 1m \right ) \Rightarrow \dfrac{m^5}{1+m^9} > \dfrac{m^4}{1+m^9} \Rightarrow m>1$ dir.

$
\begin{array}{rcl}
a\left ( \frac 1m \right ) &=& \dfrac{m^{10}}{1+m^{12}} \\
b\left ( \frac 1m \right ) &=& \dfrac{m^{8}}{1+m^{11}} \\
c\left ( \frac 1m \right ) &=& \dfrac{m^{6}}{1+m^{10}} \\
e(m) &=& \dfrac{m^{6}}{1+m^{8}} \\
\end{array}$

Yukarıdaki değerleri $m>1$ olduğunu göz önünde bulundurarak $d(m)$ ile çapraz çarpıma tutarsak
$\min\left \{a\left ( \frac 1m \right ), b\left ( \frac 1m \right ), c\left ( \frac 1m \right ), d(m), e(m) \right \} = d(m)$ elde ederiz.

$d(x)$ in en büyük değeri diğerlerinin bazı değerlerinden daha küçük, yani diğerlerinin en büyük değerlerinden daha küçüktür.