Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$ gerçel sayıları $x^{3}-3x+1=0$ denkleminin farklı kökleri ise, $a^{8}+b^{8}+c^{8}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 156
\qquad\textbf{b)}\ 171
\qquad\textbf{c)}\ 180
\qquad\textbf{d)}\ 186
\qquad\textbf{e)}\ 201
$ 

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x^4 = 3x^2-x$

$x^8 = 9x^4-6x^3+x^2 = 9(3x-1)x-6(3x-1)+x^2=28x^2-27x+6$

$a^8 + b^8 + c^8 = 28(a^2+b^2+c^2) - 27(a+b+c) + 18$

Vieta Formüllerinden,
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$
$(0)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2\cdot (-3) \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = 6$

$a^8 + b^8 + c^8 = 28\cdot(6) - 27\cdot(0) + 18 = 6\cdot(28+3)=6\cdot 31=186$.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Vieta teoremine göre, denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntıları yazalım.
      \[
   \left\{
   \begin{aligned}
      x + y + z &= 0\\
      xy + yz + zx &= -3\\
      xyz &= 1
   \end{aligned}
   \right.
   \]
$S_n = x^n + y^n + z^n$ diyelim. $S_1 =x+y+z=0$'dır. Tam kare açılımından $S_2 = x^2 + y^2 + z^2 = 0^2 - 2(-3) = 6$ ve üç küp toplamından $S_3 = x^3 + y^3 + z^3 = -3$ bulunur. Böylece kuvvet toplamları özdeşliği
$$S_n = 0S_{n-1} +3S_{n-2} - S_{n-3}$$
biçimine dönüşür. $S_4 = 3S_2 - S_1 = 18 - 0 = 18$, $S_5 = 3S_3 - S_2 = -9 - 6 = -15$, $S_6 = 3S_4 - S_3 = 54 - (-3) = 57$ ve $S_8 = 3S_6 - S_5 = 171 - (-15) = 186$ elde edilir.