Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

$8\times 8$ bir satranç tahtasının her birim karesine $1$ ve $-1$ sayılarından biri yazılmıştır. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif ise, üzerlerindeki sayıların toplamı $-3$ ten küçük olan en çok kaç sütun olabilir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

 

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

En az $4$ satırın toplamı pozitifse, bu satırlarda en az $5$ er tane $1$ var demektir. Bu $4$ satırda, en az $20$ tane $1$ vardır. O halde, bu $4$ satırda en çok $12$ tane $-1$ vardır.
Bu $4$ satır haricindeki satırlarda tamamen $-1$ olduğu durumda, bile bir sütundaki sayıların toplamının $-3$ ten küçük olması için, en az $6$ karede $-1$ olması gerekiyor. Bu durumda, söz konusu sütunlar için, toplamları pozitif olan $4$ satırın en az $2$ satırında $-1$ olan kareler olmak zorunda. Bu $4$ satırda, toplamda en fazla $12$ tane $-1$ olduğu için, bu $2$'li $-1$ lerden en fazla $6$ tane içerebilir.
Aşağıdaki tabloda, bu şekilde bulunabilecek $6$ sütun örneği yer almaktadır.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
1&1&1&1&1&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
1&1&1&1&1&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&1&1&1&1&1\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&1&1&1&1&1\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}&\color{red}{-1}\\ \hline
\end{array}$$