Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $\left ( 2n-1 \right )^{502}+\left ( 2n+1 \right )^{502}+\left ( 2n+3 \right )^{502}$ sayısının $2012$ ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?


$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 1510
\qquad\textbf{c)}\ 1511
\qquad\textbf{d)}\ 1514
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$f(n) \equiv \left ( 2n-1 \right )^{502}+\left ( 2n+1 \right )^{502}+\left ( 2n+3 \right )^{502} \pmod{4 \cdot 503}$
$(2n-1), (2n+1), (2n+3)$ ardışık tek sayılardır. Bu durumda, $f(n) \equiv 3 \pmod {4}$ olacaktır.
Ayrıca, bu tek sayıların hiçbirinin $503$ e bölünmediği durumda, Fermat'tan $(2n-1)^{502}\equiv (2n+1)^{502} \equiv (2n+3)^{502} \equiv 1 \pmod {503}$ olacaktır. Bu durumda, $f(n) \equiv 3 \pmod{503}$.
Bu tek sayılar, ardışık olduğu için en fazla biri $503$ e bölüneceğinden, bu durumda, $f(n) \equiv 2 \pmod {503}$ dür.
$f(n) \equiv 3 \pmod 4$ ve $f(n) \equiv 3 \pmod{503}$ denklik sisteminin tek çözümü $f(n) \equiv 3 \pmod {4 \cdot 503}$ tür.
$f(n) \equiv 3 \pmod 4$ ve $f(n) \equiv 2 \pmod{503}$ denklik sisteminin tek çözümü $f(n) \equiv 503\cdot 3+ 2 \equiv 1511 \pmod {4 \cdot 503}$ tür.
O halde, $f(n)$ nin $2012$ modunda alabileceği değerlerin toplamı, $3+1511 = 1514$ tür.