Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 36

[alpercay]

En az  $10$, en çok  $50$  üyesi olan bir satranç kulübü,  $K\gt E$  olmak üzere,$K$  kız  ve  $E$  erkekten oluşuyor.Herhangi iki üyenin kendi aralarında tam olarak bir maç yaptığı bir satranç turnuvasında her galibiyete $1$, her beraberliğe  $1/2$  ve her yenilgiye  $0$  puan veriliyor.Turnuva bittiğinde,her üyenin topladığı puanların tam olarak yarısını erkek üyelerle yaptığı maçlardan aldığı gözleniyorsa, $E$  sayısı  kaç farklı değer alabilir?


$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[hakulas]

Kızlar kendi aralarında yapmış olduğu maçlardan toplam ${K\choose 2}$ puan almış ise tüm puanları $K.(K-1)$ dir.

Erkekler, erkeklerden ${E\choose 2}$ puan almış ise toplam puanları $E.(E-1)$ dir.

Maç sayısı ${K+E\choose 2}$ olduğundan,

$\dfrac{(K+E).(K+E-1)} {2} = K.(K-1)+E.(E-1)$

$(K-E)^2 = K+E$

$K+E=16,25,36,49$  olabilir.