Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 34

[alpercay]

$a! +b^3=18+c^3$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b, c)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[alpercay]

Yanıt:  $\boxed{D}$

Denklemi $\bmod 7$ de inceleyelim. $\bmod 7$ de sayıların küpleri $-1,0,$ veya $1$' e denk olduğundan $18+c^3-b^3$ değeri  $\bmod 7$ de $2$, $3$, $4$, $5$, $6$  olabilir. $a\ge 7$ için $a!$ değeri $\bmod 7$ de $0$'a eşit  olduğundan $a\lt 7$ için çözüm arayalım. $a$ yerine $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ değerlerini koyarsak denklemi sadece $a=6$ sağlar. Bu durumda $b=3$ ve $c=9$ olur. Yani denklemi sadece $(6,3,9)$ üçlüsü sağlar.

Kaynak:
AoPS