Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 30

[alpercay]

$2013$ den küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ yi bölen en küçük asal sayı $p$ olmak üzere, $p^2+p+1$ sayısı $n$ yi böler?

$
\textbf{a)}\ 212
\qquad\textbf{b)}\ 206
\qquad\textbf{c)}\ 191
\qquad\textbf{d)}\ 185
\qquad\textbf{e)}\ 173
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$132 + 13 + 1 = 183$ ve $13\cdot 183>2013$ olduğu için deneyeceğimiz asal sayılar $13$ ten küçük olmalı.

$p=11$ için, $112 + 11 + 1 = 133 = 7\cdot 19$ olduğu için $p$ en küçük asal çarpan değildir.
$p=7$ için, $72 + 7 + 1 = 57 = 3\cdot 19$ olduğu için $p$ en küçük asal çarpan değildir.
Bu durumda sadece $2$, $3$ ve $5$ i deneyeceğiz.
$\lfloor x \rfloor$ ile x pozitif sayısının tam kısmını gösterelim.
$p=2$ için, $22+2+1=7$ olduğu için $2 \cdot 7 | n < 2013$ olmalı. $\lfloor \frac {2013}{14} \rfloor = 143$ adet böyle sayı var.

$p=3$ için, $32+3+1=13$ olduğu için $39 | n < 2013$ olmalı; fakat $78|n < 2013$ olmamalı. Aksi takdirde, en küçük asal bölen $2$ olur. Bu şekilde $\lfloor \frac{2013}{39}\rfloor - \lfloor \frac{2013}{78} \rfloor = 51-25=26$ sayı var.

$p=5$ için, $52+5+1=31$ olduğu için $155| n < 2013$ olmalı; fakat $2$ veya $3$, $n$'yi bölmemeli.
İçerme-Dışarmadan $\lfloor \frac {2013}{155} \rfloor - \lfloor \frac {2013}{310} \rfloor - \lfloor \frac {2013}{465} \rfloor + \lfloor \frac {2013}{930} \rfloor = 12 - 6 - 4 + 2= 4$ sayı elde edilir.

Toplamda $143+26+4=173$ sayı vardır.