Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 29

[alpercay]

$|AB|=5, |BC|=6$ ve $|AC|=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ nun $BC, AC$ ve $AB$ doğrularına göre simetriği sırasıyla, $A_1, B_1$ ve $C_1$ noktaları olsun. $A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezinin $A$ noktasına uzaklığı nedir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{29}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{19}{2\sqrt{6}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{35}{4\sqrt{6}}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{\dfrac{35}{3}}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$BC$ nin orta noktası $D$, $AC$ nin orta noktası $E$ olsun. $\dfrac{OE}{EB_1}=\dfrac{OD}{DA_1}=1$ olduğu için $A_1B_1=2\cdot ED=AB$.

Benzer şekilde $A_1C_1=AC$ ve $B_1C_1=BC$ olur. Bu durumda $A_1B_1C_1$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni eştir. O zaman bu iki üçgenin çevrel yarıçapları da eşittir.

$A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel merkezi $O_1$ olsun. $\angle C_1A_1O_1=\angle CAO$ ve $AC\parallel A_1C_1$ olduğu için $A_1O_1\parallel AO$ dur. Ayrıca, $A_1O_1=AO$ olduğu için $AOA_1O_1$ bir paralelkenardır. Bu durumda, $AO_1=OA_1$ olur.
\[\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{u\left(u-a\right)\left(u-b\right)\left(u-c\right)}\Rightarrow \dfrac{5\cdot 6\cdot 7}{4R}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\Rightarrow R=OC=\dfrac{35}{4\sqrt{6}}\]
$DC=3$ olduğu için Pisagordan $OD^2=\dfrac{{35}^2}{96}-9=\dfrac{361}{96}\Rightarrow OD=\dfrac{19}{4\sqrt{6}}\Rightarrow OA_1=AO_1=\dfrac{19}{2\sqrt{6}}$.