Alternatif versiyon, yani $(m,n) \rightarrow (m,x)$ dönüşümü için $ \left \lceil \dfrac n2 \right \rceil < x < n$ ön koşulunun var olması durumu, için çözüm yapalım.
Dönüşüm eşitsizliğini $\dfrac{n-1}2 < x < n \Longrightarrow (m,n) \rightarrow (m,x)$ şeklinde yazalım.
Ayşe, herhangi bir aşamada $(n,n)$ yazmayı başarırsa, Burak'ın $(n,x)$ hamlesinden sonra $(x,x)$ yazabileceğinden bu durumu $(1,1)$ yazıncaya kadar devam ettirebilir. $(1,1)$ çiftini Ayşe yazdığı için, Burak hamle yapamaz duruma gelir ve Ayşe oyunu kazanır.
İddia: Ayşe, herhangi bir aşamada, $k=0,1,\dots$ için $(n, 2^k(n+1)-1)$ yazmayı başarırsa, sonlu sayıda adım sonunda sayı çiftini $(x,x)$ şeklinde bir çifte çevirmeyi başarabilir.
İspat:
Burak $2^k(n+1)-1 \rightarrow x$ dönüşümü yaparsa, $ \dfrac{(2^k(n+1)-1) - 1}{2} = 2^{k-1}(n+1)-1 < x < 2^k(n+1)-1$, yani $x = 2^{k-1}(n+1), 2^{k-1}(n+1) + 1, \dots, 2^{k}(n+1)-2$ olacaktır. Bir sonraki hamlede Ayşe $x\rightarrow 2^{k-1}(n+1)-1$ dönüşümü yapabilecektir. Burak, bu şekildeki dönüşümlerde ısrarcı olursa, Ayşe bu şekilde $k=0$'a kadar gelir.
Burak $n\to x$ dönüşümü yaparsa, Ayşe $2^k(n+1)-1 \rightarrow 2^k(x+1)-1$ dönüşümü yapacaktır (Bu durumun legal olduğunu birazdan göstereceğiz.). Burak bu değişiklikte ısrarcı olursa bir noktada $x\to 1$ dönüşümü yapmak zorunda olacak. O noktadan sonra, $k$ sayısını bir azaltacak hamle sırası hep Ayşe'de olacak. $k=0$ durumunda, Ayşe tahtaya $(1,1)$ yazmış olacak ve oyunu kazanacak.
Söz verdiğimiz gibi, Ayşe'nin $2^k(n+1)-1 \rightarrow 2^k(x+1)-1$ dönüşümünün legal olduğunu gösterelim.
Göstermemiz gereken, $$ \dfrac{(2^k(n+1)-1)-1}{2} < 2^k(x+1)-1 < 2^k(n+1)-1$$ olduğu.
$x<n$ olduğu için sağ taraf çok açık.
$2^{k-1}(n+1) - 1 < 2^k(x + 1) -1 \Leftrightarrow n+1 < 2(x+1) \Leftrightarrow \dfrac{n-1}2 < x$ olduğu için sol taraf da doğru. $\blacksquare$
Sorudaki $(m,n)$ ikililerinden $(17,71)$, $(17, 2^2\cdot (17+1)-1)$ formunda olduğu için, Burak tahtaya $(x,x)$ sayısını yazmayı garantileyebilecek. O halde, Ayşe oyunu kaybedecek. Diğer ikililer için böyle bir durum söz konusu değil. Yani tahtaya ilk olarak Ayşe $(n, 2^k(n+1)-1)$ formunda bir sayı yazabilecek, böylelikle oyunu kazanmayı garantileyebilecek. Örneğin, Ayşe $(7,79)\to (7,2^3(7+1)-1) = (7,63)$ yazdıktan sonra oyunu kazanacak forma girmiş olacak.
Sonuç olarak, sorunun bu hali için, doğru yanıt, $\boxed{a)\ 4}$.
