Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 27

[alpercay]

$(a, b)$ ikilisinin $(1, 2), (3, 5), (5, 7), (7, 11)$ değerlerinden kaçı için $P(x)=x^5+ax^4+bx^3+bx^2+ax+1$ polinomunun tam olarak bir gerçel kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[geo]

$P(x) = (x+1)(x^4 + (a-1)x^3 + (b-a+1)x^2 + (a-1)x +1) = (x+1)Q(x)$

$(a,b) = (1,2)$ için $Q(x)=x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$ in kökü yoktur.

$(a,b) = (3,5)$ için $Q(x)=x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x+ 1 =  x^2(x+1)^2 + x^2 + (x+1)^2$ her zaman pozitiftir.

$(a,b) = (5,7)$ için $Q(x)=x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 4x+ 1$, $Q(0)=1$ ve $Q(-1)=-3$ olduğu için $(-1,0)$ aralığında en az bir $x$ değeri için $Q(x)=0$ dır. O halde bu $(a,b)$ çifti için $P(x)$ in birden fazla gerçel kökü vardır.

$(a,b) = (7,11)$ için $Q(x)=x^4 + 6x^3 + 5x^2 + 6x+ 1$, $Q(0)=1$ ve $Q(-1)=-5$ olduğu için $(-1,0)$ aralığında en az bir $x$ değeri için $Q(x)=0$ dır. O halde bu $(a,b)$ çifti için de $P(x)$ in birden fazla gerçel kökü vardır.

O halde, sadece $(1,2)$ ve $(3,5)$ çiftleri için $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır.

[geo]

$\begin{array}{rcl}
P(x) &=& (x+1)(x^4 + (a-1)x^3 + (b-a+1)x^2 + (a-1)x +1) \\
&=& (x+1)((x^2+1)^2 + (a-1)x(x^2+1) + (b-a-1)x^2)
\end{array}$
$\dfrac{x^2+1}{x} = t$ dersek

$P(x) = (x+1)x^2(t^2 + (a-1)t + b-a-1)$ olacaktır. Son çarpanı $t$ ye göre çözdüğümüzde $$\Delta = (a-1)^2 - 4(b-a-1) = (a+1)^2 -4(b-1) < 0 \tag{Test 1}$$ ise $P(x)$ polinomunun $x=-1$ den başka kökü yok demektir.

$t = \dfrac{1-a \pm \sqrt{(a+1)^2-4(b-1)}}{2}$ çıkacaktır. Sonra bulduğumuz $t$ değerini yerine yazarsak $$x^2 + 1 = tx \Rightarrow x^2 - tx + 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{t \pm \sqrt{t^2 -4}}{2}$$ elde ederiz. $$ t^2 < 4 \tag{Test 2}$$ durumu $P(x)$ i tek köklü yapacaktır.
Ayrıca $t$ li denklemden $x=-1$ çıkması da $P(x)$ i tek köklü yapacaktır. $-1 = t \pm \sqrt {t^2-4} \Rightarrow -2-t = \pm \sqrt{t^2 - 4} \Rightarrow t = -2$ için de $P(x)$ in tek bir gerçel kökü olacaktır. Bu denklemi çözersek $$t = \dfrac{1-a \pm \sqrt{(a+1)^2 -4(b-1)}}{2} = -2$$ $$\Rightarrow a-5 = \pm \sqrt{(a+1)^2 -4(b-1)} \Rightarrow b = 3a-5$$ elde ederiz. Yani $$3a-b = 5 \tag{Test 3}$$ ise de $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır.

Düzenlersek; $\text{Test 1}$ i sağlayan ikililer için $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır. $\text{Test 1}$ i sağlamayan bir ikili $\text{Test 2}$ yi sağlıyorsa yine $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır. $\text{Test 1}$ ve $\text{Test 2}$ yi sağlamıyor; ama $\text{Test 3}$ sağlıyorsa yine $P(x)$ in tek gerçel kökü olacaktır.

$(a,b)=(1,2)$ ikilisi için $(1+1)^2 - 4(2-1) = 0$ olacağından $\text{Test 1}$ sağlanmadı. Bu ikili için $t=0$ çıkacağı için $t^2 = 0^2<4$ olduğundan $\text{Test 2}$ i sağlandı. O halde, bu ikili için $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır.

$(a,b)=(3,5)$ ikilisi için $(3+1)^2 - 4(5-1) = 0$ olacağından $\text{Test 1}$ sağlanmadı. Bu ikili için $t=-1$ çıkacağı için $t^2 = (-1)^2<4$ olduğundan $\text{Test 2}$ i sağlandı. O halde, bu ikili için $P(x)$ in tek gerçel kökü vardır.

$(a,b)=(5,7)$ ikilisi için $(5+1)^2 - 4(7-1) = 12$ olacağından $\text{Test 1}$ sağlanmadı. Bu ikili için $t=-2 \pm \sqrt 3$ çıkacağı için ve $t=-2 - \sqrt 3$ için $t^2 = (-2 - \sqrt 3)^2 = 7 + 4\sqrt 3 > 4$ olduğundan $\text{Test 2}$ de sağlanmadı. $3 \cdot 5 - 7 = 8 \neq 5$ olduğu için $\text{Test 3}$ de sağlanmadı. O halde, bu ikili için $P(x)$ in birden fazla farklı gerçel kökü var.

$(a,b)=(7,11)$ ikilisi için $(7+1)^2 - 4(11-1) = 24$ olacağından $\text{Test 1}$ sağlanmadı. Bu ikili için $t=-6 \pm \sqrt 6$ çıkacağı için ve $t=-2 - \sqrt 6$ için $t^2 = (-6 - \sqrt 6)^2 > 4$ olduğundan $\text{Test 2}$ de sağlanmadı. $3 \cdot 7 - 11 = 10 \neq 5$ olduğu için $\text{Test 3}$ de sağlanmadı. O halde, bu ikili için $P(x)$ in birden fazla farklı gerçel kökü var.