$(n^2+1)(n^2 + 2n - 21) \equiv (n^2 + 1)\left ((n+1)^2 - 22\right ) \equiv 0 \pmod {3 \cdot 11 \cdot 61}$
$\bmod 3$ için, $n \equiv 0,1$.
$\bmod 11$ için,
$n^2 \equiv -1 \pmod {11}$ denkliğinin çözümü yok.
$(n+1)^2 - 22 \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow n \equiv 10$.
$\bmod 61$ için,
$n^2 \equiv -1 \equiv 122 - 1 \equiv 121 \pmod {61} \Rightarrow n\equiv \pm 11 \pmod {61}$.
$(n+1)^2 - 22 \equiv 0 \equiv 122 \pmod {61} \Rightarrow (n+1)^2 \equiv 144 \pmod {61}$
$\Rightarrow n+1 \equiv \pm 12 \pmod {61} \Rightarrow n \equiv 11, -13 \pmod {61}$.
İkisini birleştirirsek, $n \equiv 11, -11, -13 \pmod {61}$
Çinlilerin kalan teoremine göre $$\begin{array}{rcl}
x &\equiv& a \pmod 3 \\
x &\equiv& b \pmod {11} \\
x &\equiv& c \pmod {61} \\
\end{array} $$ denkliğinin $\bmod {2013}$ te tam olarak bir çözümü olacağı için, $ n^4+2n^3-20n^2+2n-21 \equiv 0 \pmod {2013}$ denkliğinin çözüm sayısı $2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$ dır.
