Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 21

[alpercay]

$m(\widehat{C})=90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $|AD|=|AC|$ ve $|BE|=|BC|$ koşullarını sağlıyor. $AEC$ ve $BDC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kez kesiştiği $F$ noktası için $|CF|=2$ ise, $|ED|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$ olsun.

$\angle BFC=\angle BDC={90}^{\circ }+\dfrac{\angle A}{2}$ olduğu için $I$ noktası, $BDC$ yayı üzerindedir.

$\angle CFA=\angle CEA={90}^{\circ }+\dfrac{\angle B}{2}$ olduğu için $I$ noktası, $AEC$ yayı üzerindedir.

$\angle BFA={360}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+\dfrac{\angle A}{2}+{90}^{\circ }+\dfrac{\angle B}{2}\right)={135}^{\circ }={90}^{\circ }+\dfrac{\angle C}{2}$ olduğu için $I$ noktası, $BFA$ yayı üzerindedir.

Bu üç yayın bir tek kesişim noktası var. O da $F$. Demek ki, $I=F$. Bu durumda $BF$ açıortay olduğu için $DF=FC=2$, $AF$ açıortay olduğu için $FE=FC=2$.

$CF$ açıortay olduğu için, $\angle BCF=\angle FDE={45}^{\circ }$. $DFE$ ikizkenar dik üçgeninde, $DE=2\sqrt{2}$ dir.